Methode 'Praktische Logica':

   

'Natuurlijke' Logica




1. Inleiding



Een grondslag van de formele logica is wat ik wil noemen de 'natuurlijke' logica, of niet-formele logica. Deze sluit aan bij onze alledaagse logische intuties en gaat vooraf aan de formele of mathematische logica.
{Nb. Voor de formele benadering zie: Inleiding Formele logica.}

Niet fuzzy maar fundamenteel.


De natuurlijke logica is iets anders dan 'fuzzy' logica. Het gaat niet om vage definities, wollige termen, messy regels en sloppy procedures, maar simpelweg de eerste principes waardoor logica berhaupt kan werken en van nut kan zijn. Enkele van die basisprincipes zullen we hieronder bespreken.

Afleiden van informatie.


De regels van de logica geven weer welke combinaties van gegevens betekenen, c.q. impliceren, dat andere gegevens eveneens het geval zijn. De kern van redenering staat bekend als 'gevolgtrekking' of 'afleiding', en berust op de toepassing van 'implicatie'. De implicatie is onderdeel van de logica en geeft de redenering het grote voordeel dat ze informatie oplevert. In het natuurlijk gebruik van logica staat de implicatie allereerst voor de algemene afleidingsrelatie tussen premisse(n) en conclusie(s). In formele logische systemen omvat de definitie van de implicatie nog een reeks andere logische structuren.
{Nb. Er worden in de logica verschillende vormen van gevolgtrekking onderscheiden, zoals 'materile implicatie', 'indicatieve implicatie', semantische gevolgtrekking, enz., maar de grondslag blijft de afleidingsrelatie. In de formele logica is de implicatie volkomen eenduidig gedefinieerd op basis van mogelijke combinaties van waarheidswaarden van twee variabelen. Uit deze formele definitie volgen bijzondere eigenschappen die om een goed begrip vragen. Zie de toelichting in: Inleiding Propositielogica.}

2. Beoordelen van de kwaliteit van informatie.



Informatieve waarde.


Om onze gedragingen en reacties te bepalen, maken we voortdurend - bewust en onbewust - keuzes en beslissingen. Om de optimale keuzes te kunnen maken hebben we steeds informatie nodig. Het is in ieder geval handig als onze informatie bruikbaar is voor wat we ermee willen, de doelen die we willen bereiken en ervaringen die we willen beleven. De bruikbaarheid van informatie is dus zeer bepalend voor haar waarde. Hieruit blijkt al dat de informatieve waarde van gegevens voor een flink deel (maar niet helemaal) afhankelijk is van subjectieve factoren. Die bevinden zich primair binnen de 'interne' belevingswereld van mensen en kunnen vrijwel eindeloos variren per persoon, situatie en moment. Er zijn hier echter ook aspecten te noemen die veel objectiever en meer algemeen een rol spelen.

De informatieve waarde van gegevens bestaat uit twee onderdelen: de inhoud van de informatie die wordt gegeven (wat 'zegt' het) en de kwaliteit van die informatie (wat heb je eraan). Om deze te bepalen zullen we meestal de volgende stappen doorlopen:
(a)

Betekenisgeving (inhoudelijke interpretatie).


Eerste vereiste is dat we begrijpen wat de informatie 'zegt'. Dit vraagt erom dat we de inhoudelijke strekking of betekenis kunnen bepalen, de voorstelling van zaken die wordt weergegeven. Voor deze betekenisgeving maken we gebruik van de gebruikte taal of de teken-betekenis-regels waarmee de informatie gecodeerd is.
(b)

Beoordeling.


Daarnaast is het handig als we kunnen beoordelen wat de waarde of kwaliteit is van de informatie: in hoeverre de voorstelling van zaken bruikbaar is als weergave van een gebied in de werkelijkheid. Soms zullen we beelden of verhalen willen nemen voor wat ze zijn, maar af en toe zullen we er kritischer naar willen kijken.

De kwaliteit van informatie is afhankelijk van meerdere punten:
(1) Relevantie, dat wil zeggen op zijn minst rakend aan belangen, doelen en uitgangspunten van degene(n) voor wie de informatie bedoeld is. Relevantie heeft dus betrekking op relaties van interne inhoudselementen van de informatie met externe gegevens, aan de kant van bijvoorbeeld de gebruiker, doelgroep e.d..
(2) Betrouwbaarheid, dus redelijk in overeenstemming zijn met de toedracht in de werkelijkheid voorzover we die kunnen kennen. Hierin kunnen we twee subcriteria onderscheiden:
(2a) Waarheidsgehalte van inhoudelijke elementen zoals aannamen, uitgangspunten en conclusies. Ook dit betreft relaties van inhoudselementen met externe gegevens, bijvoorbeeld van het betreffende onderwerp, het domein of gebied van de werkelijkheid.
(2b) Geldigheid van relaties die tussen de inhoudselementen gelegd worden. Deze relaties geven vaak weer hoe gegevens in een combinatie, een ordening of een redenering gebruikt zijn, en dan hebben we het dus over logische geldigheid. Deze gaat uitsluitend over relaties tussen inhoudselementen.

3. Toetsing op logische criteria.



Het is vaak handig als we over de betrouwbaarheid van informatie juiste beslissingen kunnen maken.

Waarheidsgehalte.


Te beginnen met het criterium 'waarheidsgehalte': als dit een eigenschap is van gegevens dan is het direct afhankelijk van het specifieke gebied in de werkelijkheid waar naar verwezen wordt, en is ons oordeel erover afhankelijk van inhoudelijke kennis over het onderwerp. Het is daardoor lastig er algemene dingen over te zeggen. Dit is precies de reden waarom de logica zich concentreert op aspecten van beweringen en redeneringen die zo min mogelijk afhankelijk zijn van partijdige interpretatie en daardoor het meest eenduidig te beoordelen zijn. Deze aspecten liggen in de combinaties, verhoudingen en afleidingsrelaties tussen inhoudselementen.
{Nb. In werkelijkheid bestaan inhoudselementen van beweringen en redeneringen meestal uit complexe betekenissen (semantische netwerkjes) die weer uiteengerafeld kunnen worden in logische structuren: combinaties, ordeningen en redeneringen. Deze 'diepere' structuren kunnen met meer verfijnde formele systemen worden beschreven. Zie bijvoorbeeld: Inleiding Predikatenlogica.}

Vervolgens blijkt dat waarheidsgehalte indirect afhankelijk is van de andere twee criteria: relevantie en logische geldigheid. Zowel relevantie als geldigheid hebben betrekking op de relaties tussen gegevens. Relevantie heeft betrekking op relaties van interne met externe elementen, en logische geldigheid betreft relaties tussen interne elementen. Beide zijn kenmerken van de ordening van gegevens en zijn daardoor veel beter eenduidig te beschrijven dan het inhoudelijke waarheidsgehalte van specifieke gegevens. Volkomen los van inhoudelijke kennis kunnen we kijken of informatie wel relevant is en of ze logisch geldig is. Deze criteria kunnen we dan ook met behulp van logica toepassen om informatie te beoordelen.

We zullen hieronder zien hoe we informatie kunnen beoordelen op logische, dus inhoudsvrije criteria:

· Soundness.
· Voldoende en noodzakelijke voorwaarden.
· Logische geldigheid (validiteit).
· Relevantie.

Toetsen op Soundness.


Om te beoordelen of de conclusies van een betoog of een redenering betrouwbaar zijn kijken we of het voldoet aan soundness, ook wel vertaald als 'robuustheid' of 'correctheid'.
Een betoog of redenering, is sound wanneer het voldoet aan drie vereisten:
· (1) de uitgangsgegevens (premissen) zijn waar c.q. aannemelijk;
· (2) de toegepaste afleidingsregels sluiten aan op de premissen;
· (3) de toegepaste redeneervorm is op zichzelf logisch geldig.

Soundness betekent dus dat in ieder geval geen onware conclusies worden afgeleid. Met andere woorden, als vaststaat dat een betoog sound is, dan zijn de conclusies voldoende onderbouwd, gegrond. Dus dan zijn de conclusies feitelijk waar.

De waarde van beweringen is dus altijd afhankelijk van de soundness van de gevolgde redeneerwijze. Een doorslaggevende schakel hierin is de geldigheid van de gevolgde redeneervorm: met een ongeldige redeneervorm kunnen we ook met onwrikbare uitgangsgegevens nog steeds uitkomen bij volkomen onzinnige conclusies, terwijl een geldige redeneervorm in ieder geval nooit afbreuk doet aan onze beschikbare informatie. Soundness omvat geldigheid: ze is afhankelijk van geldigheid, maar niet omgekeerd.

Waarheid, soundness en geldigheid


Logische beoordeling van waarheidsgehalte is uiteindelijk gericht op enkelvoudige beweringen, maar baseert zich daarbij op de beoordeling van geldigheid van redeneringen. Het verband wordt duidelijk in het genoemde criterium van soundness. Als we weten dat een gegeven A waar is, en we hebben geconcludeerd dat A een voldoende voorwaarde vormt voor een ander gegeven, C, dat weten we dat de redenering 'A, dus C' sound is. Daarnaast weten we dat de afleidingsregel, van aanname naar conclusie: 'Als A, dan C' in dit verband logisch geldig is.

Behoud van waarheid.


Een redenering - of meer algemeen, een denkproces - kunnen we in het algemeen opvatten als een proces met twee fasen: (a) het combineren van bekende gegevens, en (b) het daaruit afleiden van andere gegevens.
We kunnen in redeneringen gegevens afleiden via twee typen logische relaties: equivalentie (tweezijdig, symmetrisch) en implicatie (nzijdig, asymmetrisch).
Daarbij is equivalentie simpelweg een combinatie van twee implicaties. Omdat redeneren (in taal) gewoonlijk lineair en unidirectioneel verloopt, is implicatie meestal voldoende om een afleiding te maken. Het doel is bij zo'n afleiding meestal dat het eindresultaat nog even 'waar' is als de uitgangsgegevens: de afleiding levert geen verlies van waarheidsgehalte op, is 'waarheidsbehoudend' (truth preserving).
Hiervoor is het nodig dat de afleidingsrelatie (algemeen) geldig is, oftewel valide.

Voldoende en noodzakelijke voorwaarden


Om beweringen op hun houdbaarheid te kunnen beoordelen is het nodig om de logische voorwaarden voor geldige conclusies te kennen. Daarbij moeten we allereerst scherp onderscheid maken tussen voldoende en noodzakelijke voorwaarden.
Beide zijn bruikbaar om de grond van een bewering te beoordelen:

(1)

Eis van voldoende voorwaarde.


Een bewering /conclusie C is waar als tenminste n voldoende voorwaarde A voor C waar is.
(2)

Eis van noodzakelijke voorwaarde.


Een bewering /conclusie C is waar als aan alle noodzakelijke voorwaarden voor C voldaan is.

Hieronder een toelichting op deze begrippen.
(1)

Kenmerken van voldoende voorwaarde.


'A is een voldoende voorwaarde voor C' betekent:
De premisse(n) impliceert/ impliceren de conclusie.
(A C).
(a) De premisse A biedt alle grond die nodig is om de bewering C als waar aan te merken.
De premisse(n) vormt/vormen een volledige voorwaarde voor de conclusie.
(b) De conclusie wordt altijd voldoende ondersteund, of 'gedekt' door de premisse(n).
Naast A is geen andere voorwaarde nodig voor C.
A levert een zelfstandige bijdrage aan C.
{Nb. Volgens de wet: [(a c) ≡ (a c)] .}
(c) A leidt daardoor noodzakelijk tot conclusie C.
M.a.w., de conclusie is noodzakelijk gevolg van de premisse(n).
Het is uitgesloten dat A zonder C voorkomt.
De premisse(n) vormt/vormen een garantie dat de conclusie waar is.
{Nb. Volgens de wet: [(a c) ≡ (a c)] .}
(d) Als de conclusie niet waar is, kan de premisse evenmin waar zijn.
De premisse(n) vereist/vereisen de (waarheid van de) conclusie.
{Nb. Dit in contrast met oorzaken in een causale relatie, die onafhankelijk zijn ten opzichte van de gevolgen.}
De conclusie is dus noodzakelijke voorwaarde voor de premisse(n).
M.a.w., de conclusie wordt vereist door de premisse(n).
{Nb. Volgens de wet van contrapositie: [(a c) ≡ (c a)] .}
(e) Elk uniek kenmerk van een toestand biedt een eenduidige indicatie voor die toestand: vormt dus een voldoende voorwaarde voor de aanwezigheid van die toestand. (Het omgekeerde is niet geldig).
(f) Een voldoende voorwaarde kn in voorkomend geval vervangbaar zijn door een andere, een zgn. disjunctieve voorwaarde.
Als er echter geen alternatief is, dan is ze tegelijk een noodzakelijke voorwaarde.
(g) Een voldoende voorwaarde (voor een bewering C) omvat tenminste lle noodzakelijke voorwaarden (voor C).

(2)

Kenmerken van noodzakelijke voorwaarde.


'B is een noodzakelijke voorwaarde voor C' betekent:
De conclusie(s) impliceert/ impliceren de premisse.
(C B).
(a) Premisse B is altijd vereist voor C.
(b) Het is dan uitgesloten dat C zonder B voorkomt.
{Nb. Volgens de wet: [(c b) ≡ (c b)]. }
(c) De noodzakelijke voorwaarde is dus onvervangbaar, ze levert een unieke bijdrage aan de conclusie.
{Nb. Volgens de wet: [(c b) ≡ (c b)] .}
(d) Zodra de conclusie onwaar is, moet minstens n van de noodzakelijke voorwaarden eveneens onwaar zijn.
{Nb. Volgens de wet van contrapositie: [(c b) ≡ (b c)] .}
(e) Elke inherente component van een toestand vormt een 'onmisbaar ingredint' van die toestand; vormt dus een noodzakelijk e voorwaarde voor de aanwezigheid van die toestand. (Het omgekeerde geldt echter niet per se).
(f) Een noodzakelijke voorwaarde kn in sommige gevallen slechts bijdragen aan de conclusie in combinatie met een andere factor, een conjunctieve voorwaarde. Als er echter geen aanvullende voorwaarde nodig is, dan is ze tegelijk een voldoende voorwaarde.

Het verband tussen voldoende en noodzakelijke voorwaarde


Voor een goed algemeen oordeelsvermogen is het volgende inzicht cruciaal: de noodzakelijke voorwaarden voor een gevolg (effect of conclusie) zijn niet per se tegelijk ook voldoende voor dat gevolg - en vice versa.

Het kenmerkende verschil tussen de voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor een bewering is eenvoudig aan te geven:
· Een voldoende voorwaarde kn vervangbaar zijn.
· Een noodzakelijke voorwaarde is altijd onvervangbaar.

Maar er bestaat ook een positieve relatie tussen de voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor een bewering.
· Elke voldoende voorwaarde impliceert alle noodzakelijke voorwaarden (voor dezelfde conclusie).
· Elke noodzakelijke voorwaarde is onderdeel van elke voldoende voorwaarde (voor dezelfde conclusie).

Geldigheid


Het belangrijkste logische criterium is dat van geldigheid, of validiteit.
De toets op geldigheid is essentieel voor doeltreffendheid van een bewijsvoering.
Daarnaast is geldigheid medebepalend voor de relevantie van een gegeven of een bewering voor een bepaald doel, betoog of bewijs.
Geldigheid ligt ook ten grondslag aan elke logische wet of regel: de vraag is of deze algemeen geldig is, dus altijd van toepassing: een 'altijd ware bewering' (tautologie).

Een geldige denkstap: levert bij ware premisse(n) een ware - dus gegronde, gefundeerde - conclusie.
Met andere woorden, het is dan uitgesloten dat de premisse(n) waar is/zijn terwijl de conclusie onwaar is.

Er is uiteraard een fraai sluitend verband tussen geldigheid en voldoende en noodzakelijk e voorwaarden.
De volgende stellingen zijn gelijkwaardig:

Een redenering is logisch geldig;

(a) Voor de premisse(n) geldt:
De premisse(n) is/zijn voldoende voor de conclusie.

(b) Voor de conclusie geldt:
De conclusie is noodzakelijk voor de premisse(n).

Relevantie.


De toets op relevantie is essentieel voor de doelmatigheid van een bewijsvoering.
Hierdoor kunnen we in een vroeg stadium zo veel mogelijk 'ballast' aan niet-ter-zake doende argumenten kwijtraken zodat we ons kunnen concentreren op de 'rode draad' van het verhaal, de hoofdlijn van het betoog en de kern van de vraag.

Relevant: is datgene wat hoe dan ook bijdraagt aan de conclusie.
Een relevant argument zal dus voldoende, of noodzakelijk, of tenminste ondersteunend zijn voor een betoog, c.q. een voorhanden vraagstelling.

(a)

Direct relevant:


Is wat rechtstreeks bijdraagt aan de conclusie.
Dit kan drie vormen aannemen.
1. Een argument is voldoende n noodzakelijke voorwaarde (staat in logische equivalentie).
2. Een argument is voldoende voorwaarde; omvat alle noodzakelijke voorwaarden (staat in implicatie).
3. Een argument is noodzakelijke voorwaarde, dus conjunct in een voldoende voorwaarde (staat in conjunctie).

Vuistregel: zoek altijd eerst premissen met directe verbindingen met de te bewijzen conclusie. Elke tussenschakel maakt de kans op afwijkingen (bias) steeds groter.

(b)

Niet (direct) relevant:


Hierbij zijn twee mogelijkheden.
1. Indirect relevant: Een argument is zelf noch voldoende, noch noodzakelijk voor de conclusie, maar levert wel een bepaalde bijdrage aan een voldoende of aan een noodzakelijke voorwaarde.
2. Irrelevant: Een argument is noch noodzakelijk, noch voldoende, en levert ook geen (indirecte) bijdrage aan de conclusie.

Overtolligheid (redundantie):
Tegenover het criterium 'relevant' staat 'overtollig'.
'Overtollig' is overigens van heel andere orde dan 'onvolledig':
· Het eerste is hoogstens ondoelmatig c.q. verspilling,
· Maar het tweede kan allerlei ruis, ontregeling of stagnatie geven, en fataal zijn om een correcte oplossing te realiseren.

4. Bewijsvoering en weerlegging



Logica is een hulpmiddel voor correcte oordeelsvorming. We kunnen zekerheid krijgen over die correctheid door hiervoor bewijzen te leveren.

Ook in een 'natuurlijke' toepassing ligt de kracht van logica bij de mogelijkheid om beweringen en redeneringen te bewijzen. In het geval van stellingen is dat op het punt van 'waarheidswaarde' en in het geval van redeneringen (oftewel combinaties van stellingen) op het punt van 'geldigheid'.

Soms willen we een betoog niet bewijzen maar juist weerleggen. Bewijzen en weerleggen zijn uiteraard als de keerzijden van n medaille: het weerleggen van een stelling komt neer op bewijzen dat het tegendeel van die stelling onwaar is.
Hieronder volgen eerst enkele eenvoudige manieren van logische bewijsvoering en weerlegging met behulp van het onderscheid tussen voldoende en noodzakelijke voorwaarden. We concentreren ons eerst op het waarheidsgehalte van beweringen ten opzichte van hun premissen.

(1)

Bewijsvoering.



Wat is een afdoende bewijsvoering?


Een afdoende bewijsvoering voor een conclusie C bestaat uit een reeks stellingen die samen voldoende premissen A* vormen voor de (eind)conclusie C, bijvoorbeeld een ingenomen standpunt.

Bewijs voor een bewering C.


Om een bewering C te bewijzen, is het voldoende om te bewijzen dat minstens n van de volgende situaties het geval zijn:
(·) dat de conclusie noodzakelijk volgt uit de aangevoerde premissen.
{Nb. Volgens de wet: [(p q) ≡ (p q)].}
(·) dat tenminste n voldoende voorwaarde A voor C vervuld is.
(·) dat tenminste alle noodzakelijke voorwaarden B* voor C vervuld zijn.
(·) dat het tegendeel
van de conclusie voldoende voorwaarde is voor het tegendeel van de premisse(n).
{Nb. Volgens de wet van contrapositie: [(p q) ≡ (q p)].}
(·) dat het verband tussen premisse(n) en conclusie geen tegenvoorbeeld toelaat:
dus dat het uitgesloten is dat de premisse(n) waar is/zijn en tegelijk de conclusie nwaar is.
(Bewijs door 'weerlegging van het tegendeel', via reductio ad absurdum).
{Nb. Volgens de wet: [((p q) $0) (p q)].}

Optimaliseren van bewijsvoering:


Voer zo veel mogelijk verschillende voldoende voorwaarden voor de conclusie aan.
Maak daarbij duidelijk dat elk van deze alternatieven op zich al afdoende is als bewijs.

(2)

Weerlegging.



Wat is een afdoende weerlegging (van een bewering C)?


Een afdoende weerlegging van een conclusie C bestaat uit minstens n stelling die minstens n noodzakelijke voorwaarde in de (voldoende) premissen A* van de conclusie weerlegt.
Kortom, bewijs dat minstens n uitzondering voorkomt, nl. dat de premissen A* voorkomen zonder dat C het geval is:
dus 'Er bestaan A* zonder C';
m.a.w. bewijs de mogelijkheid van de combinatie: (A* C).

Weerlegging van een bewering C.


Om een bewering C te weerleggen, is het voldoende om te bewijzen:
(·) dat minstens n noodzakelijke voorwaarde B voor C weerlegd is
(ontbreekt, onvolledig is, zwak, onaannemelijk etc.);
(·) dat wanneer de premisse(n) waar is/zijn, tenminste n inherente component (conjunct) van de conclusie weerlegd is.
{Nb. Volgens de wet: [((q ≡ (q1 q2)) (p q1)) (p q)].}
(·) EN/OF dat lk als voldoende aangevoerd argument voor C eigenlijk 'ontmaskerd' dient te worden als onvoldoende grond voor C.

Optimaliseren van weerlegging:


Voer zo veel mogelijk defecten van noodzakelijke voorwaarden aan.
Probeer daarbij aannemelijk te maken dat elk defect op zich al afdoende is om de noodzakelijk e voorwaarde uit te schakelen - en daarmee de voldoende voorwaarde, en vervolgens de conclusie.

Zie verder ..



§ Pagina's

Formele logica' © .



Zie ook ..