Methode 'Praktische Logica':

   

Logische criteria



(Samenvattend overzicht)

Semantische criteria



Het nut van semantiek ligt in het toekennen van een (exacte) betekenis aan alle (syntactisch) welgevormde formules in een (logische) taal.
Een logische taal T! omvat o.a. een verzameling eenduidige afspraken/ regels over noodzakelijke betekenissen/ waarheidswaarden van formule G en formule(s) K*.

I. Criteria m.b.t. inhoud:



(1)

Waarheidsgehalte:


De vraag of enkelvoudige beweringen (bijv. conclusies) op zichzelf als waar mogen gelden, waarbij alle benodigde informatie gebaseerd is op ware c.q. als geldig geïnterpreteerde gegevens (premissen).

Definitie:

van 'Waarheid' :
Een bewering is (in de logica) waar:
indien ze behoort tot de uitgangsgegevens van het systeem of de conclusie is van een redenering waarvan de premisse waar is en de redenering logisch geldig is.
'TRUE(G)', 'G' : G is waar.
Waarheid is interpretatie-afhankelijk.

Elke syntactisch welgevormde formule in de logica (een 'wff') levert bij een bepaalde semantische invoer (een interpretatie) een waarheidswaarde: is een 'waarheidsfunctie'.

II. Criteria m.b.t. procedure:



(1)

Waarheidsbehoud:


De vraag of we in een bepaalde redeneerwijze zo min mogelijk waarheid c.q. zekerheid verliezen en dus zo min mogelijk onwaarheid c.q. onzin toevoegen.

(2)

Soundness:


Wordt ook wel vertaald als 'robuustheid' of 'correctheid'.
Een betoog of redenering, is sound wanneer het voldoet aan drie vereisten:
· (a) de uitgangsgegevens (premissen) zijn waar c.q. aannemelijk;
· (b) de toegepaste logische regels sluiten aan op de premissen;
· (c) de toegepaste redeneervorm is op zichzelf logisch geldig.

Soundness betekent dus dat in ieder geval geen onware conclusies worden afgeleid.

III. Criteria m.b.t. formele logische structuur:



(1)

Vervulbaarheid (satisfiability):


De redenering is niet noodzakelijk onwaar.
De redenering kan in principe waar zijn, afhankelijk van variaties in inhoud.
Er is minstens één interpretatie, of validatie, waaronder de redenering waar is.
De redenering kan bij een bepaalde interpretatie overgaan in een ware bewering.

De syntactische versie van deze eigenschap:
Niet-strijdigheid (consistentie):
De redenering leidt in ieder geval niet tot tegenstrijdige consequenties, dus voldoet aan niet-strijdigheid.
Een redenering, verzameling beweringen of stelsel voor redenering bevat geen tegenstrijdigheden.
Het levert onder dezelfde invoer geen strijdige uitkomsten op.
Het levert vanuit ware invoer geen onware uitkomsten op.

Twee categorieën van vervulbaarheid:



(1.a)

Logische geldigheid (validiteit):


D.w.z. Geldig-vervulbaarheid.
De redenering is noodzakelijk en onveranderlijk waar.
De redenering is altijd waar, ongeacht variaties in inhoud.
De uitdrukking blijkt via elke mogelijke interpretatie over te gaan in een ware bewering.
De redenering is waar onder elke mogelijke interpretatie.
De redenering is onder geen interpretatie onwaar.
De redenering staat voor een (logische) wet, een zgn. tautologie.

Definitie:

van formele geldigheid.
Een redenering is 'formeel geldig' indien zij binnen een aanvaard logisch stelsel
(1) welgevormd is volgens de syntactische regels binnen dat stelsel; en
(2) als geldig kan worden beschouwd volgens de regels voor interpretatie van redeneringen (semantiek), binnen dat stelsel.

(1.b)

Contingentie :


D.w.z. Contingent-vervulbaarheid.
De redenering is soms waar, soms onwaar.
Ze is niet geldig maar wel consistent.
Ze is dus zeker vervulbaar onder sommige interpretaties maar beslist niet onder alle interpretaties.

(2)

Onvervulbaarheid :


Het model is noodzakelijk en onveranderlijk onwaar.
De redenering is onwaar onder èlke mogelijke interpretatie, of validatie.
De uitlating blijkt via elke mogelijke interpretatie over te gaan in een onware bewering.
De redenering is onder geen interpretatie, of validatie, waar.

De syntactische versie van deze eigenschap:
Strijdigheid (contradictie, inconsistentie):
De redenering bevat beweringen die onderling onverenigbaar zijn, en daardoor strijdig (contradictoir).
De redenering kan onmogelijk waar zijn, ze is uitsluitend onwaar.

IV. Enkele Meta-logische criteria :



(1)

Bewijsbaarheid.


D.w.z. 'Eindig-afleidbaarheid.
'Bewijsbaarheid' 'Waarheid/ geldigheid impliceert afleidbaarheid'.
(a) Een bewering is bewijsbaar als er een logisch systeem bestaat waarin een sluitend en eindig logisch bewijs bestaat van haar waarheid.
(b) Een redeneervorm is bewijsbaar als er een logisch systeem bestaat waarin een sluitend en eindig logisch bewijs bestaat van zijn logische geldigheid.

(2)

Volledigheid.


D.w.z. Volledige waarheid-bewijscapaciteit.
'Volledigheid' 'Waarheid/ geldigheid impliceert Bewijsbaarheid'.
Een logisch systeem is volledig als elke ware bewering die welgevormd is volgens de syntax van dat systeem ook binnen dat systeem bewijsbaar is.
(D.w.z. via een sluitend en eindig logisch bewijs).

(3)

Beslisbaarheid.


D.w.z. Validiteitsbeslisbaarheid.
'Beslisbaarheid' 'Welgevormdheid impliceert bewijsbaarheid of weerlegbaarheid'.
(a) Een bewering is beslisbaar als er een logisch systeem bestaat waarin bewijsbaar is dat ze hetzij waar, hetzij onwaar is.
(b) Een redeneervorm is beslisbaar als er een logisch systeem bestaat waarin bewijsbaar is dat ze hetzij geldig, hetzij ongeldig is.
(c) Een logisch systeem is beslisbaar als voor elke bewering die welgevormd is volgens de syntax van dat systeem ook binnen dat systeem bewijsbaar is dat ze hetzij waar, hetzij onwaar is.
(d) Een verzameling van beweringen is beslisbaar in een logisch systeem als elke bewering in die verzameling welgevormd is volgens de syntax van dat systeem en als binnen dat systeem bewijsbaar is dat die bewering hetzij waar, hetzij onwaar is.

Voorbeelden van (on)vervulbare formules:



(1)

Vervulbaar.



(1.a)

Tautologie.


K* is geldig (valide, tautologie), dus vervulbaar.
Waarheid en geldigheid van K* zijn onafhankelijk van interpretatie.
Bijvoorbeeld:
(1) K* = {A ¬A}.
(2) K* = {0 (A ¬A)}.
(3) K* = {B (A ¬A)}.
(4) K* = {A (B A)}.
(5) K* = {A (B ¬B)};
  ≡ {(¬A B ¬B)}; ≡ {¬A $1}; ≡ {$1}.
(6) {( (A B) (A ¬B) ) ≡ ¬A};
  ≡ {((((1011),(0111))≡(0011))≡(0011)}.

(1.b)

Contingentie.


K* is contingent, en dus vervulbaar.
Waarheid en consistentie van K* zijn afhankelijk van interpretatie.
Bijvoorbeeld:
(1) K* = {A}.
(2) K* = {(A B)}.
(3) K* = {A (B C)}.
(4) K* = {(A (B A)), C}.
  K* is vervulbaar en contingent (inclusief een tautologie).

(2)

Onvervulbaar (en inconsistent).


Onwaarheid en inconsistentie van K* zijn onafhankelijk van interpretatie.
Bijvoorbeeld:
(1) K* = {A, ¬A}.
(2) K* = {(A B), (A ¬B), A}; ≡ {A (B ¬B), A}; ≡ {(¬A (B ¬B)), A}; ≡ {(B ¬B), A}; ≡ {$0, A}; ≡ {$0}.
(3) K* = {(A(c) B(d)), (B(x) ¬A(x)), A(x)};
≡ {(¬A(c) B(d)), (¬B(x) ¬A(x)), A(x)};
≡ {(¬A(c) B(d)), ¬B(x), A(x)};
≡ {(¬A(c) B(d)), ¬B(x), ¬B(d), A(x), A(c)};
≡ {B(d), ¬B(x), ¬B(d), A(x)};
≡ {$0, ¬B(x), A(x)};
≡ {$0}.



Logica: Geldige en ongeldige redeneerstappen.


Logica wijst de redeneervormen aan die garant staan voor ware uitkomsten.

I. Logisch geldig.


Geldigheid: validiteit, tautologie.
Levert behoud of vermindering van logische kracht;
garandeert behoud van waarheid.

Hoofdvormen van geldige inferentie



(1)

Logische equivalentie.


Parafrase. Volledig behoud van logische kracht (zekerheid, garantie).
Bijv. (PDL): {A(x) ≡ A(y)}.
Bijv. (PPL): {¬(A B) ≡ (¬A ¬B)}.

(2)

Logische implicatie.


Richten, selecteren. Vermindering van logische kracht (verzwakking).
Bijv. (PDL): {A(x) A(c)}.
Bijv. (PPL): {(A B) (A B C)}.

(3)

Disjuncte uitbreiding:


Toevoeging van mogelijkheden (beschikbare opties). Vermindering van logische kracht (verzwakking).
Creatief denken, leiden (afstemmen, daarna sturen).

(3a)

Equivalentie met Disjuncte uitbreiding.


Bijv. (PDL): {A(x) (A(x) B(d))}.
Bijv. (PPL): {(A B) ((A B) C)}.

(3b)

Implicatie met Disjuncte uitbreiding.


Bijv. (PDL): {A(x) (A(c) B(d))}.
Bijv. (PPL): {(A B) (A C)}.

II. Logisch ongeldig.


non sequitur [nonseq]. Overmatige / ongegronde stelligheid.

(II.a) Ongeldig, maar vervulbaar, contingent.


(Mogelijk) waar onder bepaalde interpretatie(s), bijv. nieuwe informatie.
Toevoeging van zekerheid/ garantie. Ongeoorloofde vermeerdering van logische kracht (versterking).

(4)

Conjuncte uitbreiding:



(4a)

Equivalentie met Conjuncte uitbreiding.


Overgeneralisatie, overdrijving. Expansie.
De conclusie omvat de premisse (fallacia conversio).
Bijv. (PDL): {A(x) (A(x) B(d))} : ongeldig.
Bijv. (PPL): {(A B) (A B C)} : ongeldig.

(4b)

Implicatie met Conjuncte uitbreiding.


Vertekening, manipulatie.
Bijv. (PDL): {A(x) (A(c) B(d))} : ongeldig.
Bijv. (PPL): {(A B) (B C)} : ongeldig.

(5)

Volledig voorbijgaan aan de premisse(n).


Er 'naast' redeneren. Onjuistheid, erratum. Fabuleren.
(De conclusie omvat niets van de premisse(n)),
maar is niet noodzakelijk onverenigbaar/ strijdig met de premisse(n) c.q. voorgaande beweringen.
Bijv. (PDL): {A(x) B(y)} : ongeldig.
Bijv. (PPL): {(A B) C} : ongeldig.

(II.b) Onvervulbaar (inconsistent).


Onder geen enkele interpretatie waar. Nihil logische kracht. Altijd onwaar. Altijd onzin.

(6)

Strijdigheid.


De conclusie staat haaks op de premisse(n) c.q. voorgaande beweringen.
Contradictie. Absurdum, paradox, falsum.
Averechts, contra-logisch redeneren.
Bijv. (PDL): {A(x) ¬A(y)} : ongeldig.
Bijv. (PPL): {(A B) ¬B} : ongeldig.



Logische criteria - kort overzicht:



1.

Geldigheid (validiteit, tautologie):


'Een formule G is geldig (als bewering, redenering, regel of wet)':
'VALID(G)', c.q. 'TAUT(G)';
'|= G';
'i (I![i] |= G');
'i (I![i] (V!(G)=1))';

G heeft (polaire waarde van een contradictie);
G ((is niet contingent) EN (is niet contradictie)));
'(¬CONTIN(G) ¬¬SATBL(G))';
'(((|= G) (|= ¬G)) (¬|= ¬G))'.

Bewijs voor: G is algemeen geldig;
d.m.v.: bewijs voor S0; waarbij S0 = ¬G;
Stel: G = (K* C);
S0 = (K* ¬C);
te bewijzen: "S0 is onvervulbaar";
d.w.z.: (S0 ).

2.

Ongeldigheid (non sequitur [nonseq]):


'Een formule G is ongeldig, volgt niet':
'¬VALID(G)';
'¬|= G';
'i (I![i] |= ¬G)';
'i (I![i] (V!(G)=0))';

G ((is vervulbaar) en/of (is contradictie));
'(SATBL(G) ¬SATBL(G))';
'((¬|= ¬G) (|= ¬G))'.

3.

Vervulbaarheid, consistentie:


'Een formule G is vervulbaar':
(niet contradictie);
'SATBL(G)', c.q. 'CONSIS'(G);
'¬|= ¬G';
'i (I![i] |= G)';
'i (I![i] (V!(G)=1))';

G ((is tautologie) OF (is contingent));
G (TAUT(G) CONTIN(G));
'((|= G) ((¬|= G) (¬|= ¬G)))'.

Bewijs voor: G is vervulbaar;
d.m.v. bewijs van: 'Een formule G is waar, in een interpretatie I!':
'I! |= G';
'I! is een model M! voor G';

4.

Contingentie:


'Een formule G is contingent':
'CONTIN(G)';
'((¬|= G) (¬|= ¬G))';
'i j ((I![i] |= G) (I![j] |= ¬G) ¬(i=j))';

G ((is niet tautologie) EN (is niet contradictie));
'(¬TAUT(G) ¬UNSATBL(G))';
'((¬|= G) (¬|= ¬G))'.

G ((is ongeldig) EN (is vervulbaar));
'(¬VALID(G) SATBL(G))';
'((¬|= G) (¬|= ¬G))'.

5.

Onvervulbaarheid, inconsistent, contradictie:


'Een formule G is onvervulbaar':
(Polaire waarde van een tautologie);
'¬SATBL(G)';
'|= ¬G';
'i (I![i] |= ¬G)';
'i (I![i] (V!(G)=0))';
i (I![i] |= G)'.

G ((is niet tautologie) EN (is onvervulbaar));
(¬TAUT(G) ¬SATBL(G));
'((¬|= G) (|= ¬G))'.



Zie overige Pagina's over Formele logica.