Methode 'Praktische Logica' ©




Informatie, combinatorische explosie, en logica



Korte inleiding

(1988 e.v.).

CvdV
2.4: Vrijdag 31 juli 2009 23:28.

Het probleem van combinatorische over-load



Het is voor veel van onze doelen handig, soms zelfs van levensbelang, dat we enig idee hebben wat we kunnen doen om die doelen te behalen. Dan is het fijn om tijdig te beschikken over voldoende relevante informatie die bovendien redelijk betrouwbaar is. Van nature zijn we geneigd om die informatie op basis van onze vertrouwde 'natuurlijke' intuïties en 'spontane' associaties bij elkaar te zoeken. Er zijn dan een aantal algemene beperkingen en problemen waar we mee te maken krijgen.
{Zie voor details bijvoorbeeld:
(·) Principes van 'Modelvorming': Mogelijkheden van kennis, informatie en logica.
(·) Beperkingen van menselijke kennis en oordeelsvorming. }

Veel van deze problemen raken de inhoudelijke kwaliteit van informatie, zoals volledigheid, begrijpelijkheid, eenduidigheid, en 'realisme' of waarheidsgehalte (waarschijnlijkheid, waarheidsgelijkenis, enzovoorts). Dat wil zeggen, eigenschappen die afhankelijk zijn van de specifieke 'invulling', het onderwerp, het domein of het 'soort' werkelijkheid waarnaar de informatie verwijst. In de praktijk is onze informatie vaak een mix van hele en halve waarheden.

Daarnaast zijn er problemen die volkomen los staan van de toestand van het domein, en die louter te maken hebben met de structuurkenmerken van de informatie op-zichzelf: de logische eigenschappen.

De structuur van informatie bestaat primair uit alle logische relaties tussen de gegevens. De logische relaties tussen gegevens vormen de eerste hoofdlijnen van hun ordening, dus de samenhang van informatie. En deze samenhang is als eerste bepalend voor zowel het geheel als alle delen van die informatie - zowel voor hun rol binnen de structuur als voor de consequenties voor hun inhoud. Een accurate beoordeling van logische relaties is dan ook een eerste vereiste voor optimale selectie, gegronde validatie, en nuttige toepassing van gegevens.

Het eerste probleem is dan een goed inzicht te krijgen in die logische relaties. En daarvoor is een helder overzicht handig.

Nu vertegenwoordigen onze gegevens, afgezien van hun (inhoudelijke) kwaliteit, altijd enorm veel mogelijke combinaties en mogelijke ordeningen. Met het toenemen van gegevens neemt het aantal mogelijke combinaties exponentieel toe: er vindt al gauw combinatorische explosie plaats. Uit die vaak astronomische hoeveelheden van mogelijkheden is het lastig - zo niet ondoenlijk - om zomaar een selectie te maken. Zonder verdere richtlijnen wordt zo'n selectie al gauw lukraak, arbitrair, een 'slag in de lucht'. De kans dat dit doel treft is - bij zulke gigantische 'zoekruimtes' - minimaal, of nagenoeg nihil.

Orde in de combinatorische explosie.



Het probleem van de combinatorische explosie is zeker niet het énige die de menselijke oordeelsvorming bemoeilijkt. Het verdient echter bijzondere aandacht omdat het (a) objectief aantoonbaar is, (b) behoorlijk exact kan worden berekend èn (c) ook drastisch kan worden aangepakt, en wel met behulp van de meest betrouwbare kennis die we hebben: die van de logica. Dit punt levert dan ook een zeer solide pleidooi voor de onontkoombare noodzaak om doelbewust logica toe te passen als we betrouwbare oordelen willen vormen.

(a)

Een combinatorische explosie in ons aandachtsveld.


Allereerst is er de hoeveelheid gegevens die we mentaal kunnen 'overzien'.
Als voorbeeld kijken we naar de maximale informatiecapaciteit van ons bewuste 'aandachtsvenster', dat is de maximale hoeveelheid items die we gelijktijdig bewust kunnen beschouwen, zoals woorden, cijfers, letters, of andere symbolen. Deze hoeveelheid bedraagt gemiddeld ongeveer '7±2' elementen. Het precieze aantal is afhankelijk van het type stimulus, maar laten we even uitgaan van 7.

Zonder verdere vooronderstellingen is een verzameling 'dingen', zoals items of andere objecten, in het algemeen op de eerste plaats ongeordend.
{Nb. Een verzameling kan wel genoteerd worden in een bepaalde syntactische ordening, bijvoorbeeld lineair in een reeks, ruimtelijk in een puntenwolk. Maar die ordening heeft niet per se een betekenis: is nog geen semantische ordening - tenzij na interpretatie. Dit geldt ook voor een logisch-syntactische verzameling van items of formules: die staat (nog) niet in logische relatie, dus ook (nog) niet in conjunctie.
We starten met de simpelste ordening: het aantal mogelijke verschillende volgordes (permutaties) van een aantal items. Dit is bijvoorbeeld van belang om de tijdvolgorde (chronologie) van gebeurtenissen te bepalen. Voor 7 items is dit aantal al niet gering: 5040 (= ca. 12.3 bits).

Een volgende trap van ordening is gebaseerd op het aantal mogelijke unieke logische relaties tussen gegevens. Logische ordening is veel interessanter dan enkel volgorde (in de tijd) of rangschikking (in de ruimte). Als we informatie willen gebruiken als grondslag voor ons handelen en beslissen, is dat meestal temidden van onzekerheden. oftewel contingenties. Het is dan handig om rekening te houden met de kwaliteit van informatie, de implicaties die ze kan hebben en te verwachten gevolgen in de gegeven situatie.

De combinatie van een aantal items brengt echter een enorme hoeveelheid mogelijke logische implicaties, consequenties en conclusies met zich mee: het probleem van combinatorische explosie. Van alle mogelijke logische relaties is altijd maar een heel klein deel logisch geldig: dus direct bruikbare informatie.
Om de 'juiste', of optimale informatie te achterhalen, zullen we de logisch geldige conclusie(s) moeten selecteren. Die selectie is alleen snel en betrouwbaar mogelijk door middel van het toepassen van logica. Om precies te zijn: exacte, dus formele logica.

Combinatorische explosie in propositielogica (

PPL

).


Op zijn minst geldt - in alle denkbare gevallen - de meest eenvoudige vorm van exacte logica, de propositielogica (

PPL

). Deze is immers altijd van toepassing zodra we minstens één onderscheid aanbrengen, d.w.z. zodra we met enige informatie te maken hebben (in plaats van louter niets-zeggende ruis). Hiervan zijn alle 'hogere' of 'meer sophisticated' vormen van logica afhankelijk.

Stel we nemen de simpelste versie van de propositielogica, met twee waarheidswaarden (waar of onwaar): een binair systeem. Het aantal unieke mogelijke logische relaties is dan hyperexponentieel in het aantal items. Daarmee zitten we midden in de combinatorische explosie.

Uitgaande van 2 items - een absoluut minimum om zinvol te redeneren - hebben we al 16 unieke mogelijke logische relaties.
{N.b. Met deze combinaties (bij een aantal items van 2) hebben we de elementaire waarheidswaardentabel ingevuld waarmee in feite de gehele semantiek van de propositielogica is gedefinieerd.
Zie ook: Inleiding Propositielogica. Redeneren met elementaire beweringen.
Voor de tabel: Schema's Logische Niveau's en criteria. Niveau II:   Vervulbaarheid / geldigheid }

Van deze unieke patronen is er precies één algemeen geldig, en één altijd onwaar (onvervulbaar), de geldigheid van de andere is voorwaardelijk.

Van de 16 mogelijke relaties (bij 2 items) worden er overigens 16 minus 1 = 15 minstens één keer door een ander patroon geïmpliceerd.
Een aantal voorbeelden van eenvoudige situaties in een binair systeem binnen de propositielogica:
  • Bij 1 item hebben we een syntactisch patroon van 2 tekens, en semantisch een potentieel van 4 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie, en 2 contingenties.
  • Bij 2 items hebben we een syntactisch patroon van 4 tekens, en 16 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 14 contingenties.
  • Bij 3 items hebben we een syntactisch patroon van 8 tekens, en 256 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 254 contingenties.
  • Bij 4 items hebben we een syntactisch patroon van 16 tekens, en 65536 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 65534 contingenties.
  • Bij 5 items hebben we een syntactisch patroon van 32 tekens, en 4294967296 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 4294967294 contingenties.
  • Bij 6 items hebben we een syntactisch patroon van 64 tekens, en 18446744073709551616 mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 18446744073709551614 contingenties.
  • Bij 7 items hebben we een syntactisch patroon van 128 tekens, en ca. 3.402823669209385.. *10 38 (= 128 bits) mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en de rest contingenties.
Enz..

[*DIT TOCH MAAR FF NIET!] Met als gevolg dat ca. 36 % gesubsumeerd is, en daardoor overtollig. redundant ]-- > Alle andere formules staan dus nog 'open' wat betreft hun waarheidswaarde. Deze dienen nog getoetst te worden aan een bepaald referentiekader (verzameling axioma's, of referentieel domein) om beslist te worden, dat wil zeggen, om hun geldigheid te bepalen.

Met 7 items, het doorsnee aantal van elementen in het bewuste aandachtsvenster, is het aantal unieke formules in

PPL

dus al ca. 3.4 *10 38 (= 128 bits). Ook hiervan kan maar één patroon algemeen geldig zijn.

[*DIT TOCH MAAR FF NIET!] Daarbij is er ca. 1.0 *10

-

14
% redundantie als gevolg van gesubsumeerde patronen: een minuscule fractie. Er valt dus nauwelijks overtolligheid te reduceren. Alle andere relaties staan dus nog ter beoordeling!

Met elke volgende stap van complexiteit van het te gebruiken logische systeem - modale logica (ML), predikatenlogica (

PDL-I

), enzovoorts - nemen de mogelijke combinaties nog veel explosiever toe.

Combinatorische explosie in predikatenlogica (

PDL-I

).


Nog een concreet voorbeeld: stel we nemen een uiterst minimaal formeel systeem in de predikatenlogica: een binair systeem met alleen predikaties van de eerste orde (d.w.z. zonder predikaties over predikaties), met een vocabulaire van 2 predikaten, elk met 2 argumenten, bij een domein van 2 elementen. Dit is een vrij gebruikelijke opzet die we nodig hebben voor simpele dagelijkse redeneringen.
Bijvoorbeeld:
Predikaten: {kussen(x,y),houden-van(x,y)};
domein: {Jan,Marie}.
Voorbeelden van predikaties: {kussen(Jan,Marie);houden-van(Marie,Jan)}.
Voorbeeld van een logische relatie: {kussen(Jan,Marie) houden-van(Jan,Marie)} ('Als Jan Marie kust dan geldt dat Jan van Marie houdt').

Een dergelijk simpel predikaatlogisch systeem levert meteen al evenveel mogelijke unieke logische relaties als een binair systeem in

PPL

met een vocabulaire van 8 atomaire proposities: nl. ca. 1.58 *(10 77), oftewel 256 bits. Een getal van 78 cijfers.

Er is uiteraard geen mens die zulke massa's mogelijkheden 'spontaan', of 'intuïtief' kan overzien en ordenen naar geldigheid, althans, in een afzienbaar tijdbestek.

Tegenwerping kan zijn dat dit een heel triviaal voorbeeld is - kan toch niet moeilijk zijn om dit in een praktijksituatie te beslissen, wanneer we over concrete gegevens beschikken? Punt is dat wat triviaal is, of lijkt te zijn, helemaal niet geldig hoeft te zijn, en dat mensen in de praktijk juist voortdurend oordelen en daarbij relatief veel ongegronde conclusies trekken. Iedereen kan altijd wel wat fouten opmerken, maar alleen met kennis van logica weet je zeker dat je ze allemaal opmerkt, en ze het kunt oplossen voor zover ze oplosbaar zijn.
{Om een idee te krijgen van de omvang van het probleem van combinatorische explosie, zie voor enkele voorbeeld-uitwerkingen:
(·) Combinatorische explosie - in

PPL

: tweewaardig (binair) systeem.

(·) Combinatorische explosie - in

PPL

: driewaardig (tertiair) systeem.

(·) Combinatorische explosie - in

PPL

: tienwaardig (decimaal) systeem.
}

(b)

Associatief versus logisch denken


Het volgende punt is dat de inhoud van ons aandachtsvenster niet stil staat. Onze aandacht dwaalt voortdurend over de verschillende inhoudselementen van ons korte-termijn geheugen - dat zelf ook voortdurend van samenstelling verandert. Omdat we creatief kunnen denken en associëren, kunnen we vanuit één gedachte (een 'uitgangspunt') in principe altijd in oneindig veel richtingen verder denken. Dit geeft een vrijwel oneindige divergentie, een onafzienbare combinatorische explosie van mogelijke 'vervolgstappen': conclusies en denkpaden.
Zonder enige ordening hebben we ook hier enkel zinloze chaos. Variëren vereist selecteren. Logica is bij uitstek het middel om bij zoveel mogelijkheden snel de zinvolle en relevante relaties in kaart te brengen.

(c)

Redeneren met onzekerheden.


De voorgaande problemen zijn alleen afhankelijk van het aantal uitgangsgegevens, niet van hun inhoudelijke kwaliteit. We hebben in het dagelijks leven echter meestal te maken met basisgegevens uit feilbare bronnen, zoals waarneming, herinnering, 'horen zeggen', enzovoorts, waardoor ze al in eerste instantie in een bepaalde mate onvolledig, onnauwkeurig en onzeker zijn. Verreweg het grootste deel van die gegevens komen in eerste instantie in 'onbesliste' toestand tot ons: zonder eenduidige betekenis, verifieerbaar waarheidsgehalte, of toetsbare geldigheid. De vraag is hoe we met zulke fuzzy en messy informatie toch op een zinnige manier kunnen redeneren (niet al te sloppy) zodat we niettemin aanvullende informatie winnen, - of, in ieder geval, zonder dat er verlies van informatieve waarde optreedt.
Logica werkt onafhankelijk van de inhoud van informatie. Daardoor is ze bij uitstek geschikt om uit gebrekkige en onzekere gegevens nog een maximum aan hoogwaardige informatie te destilleren.

Kortom: de hoeveelheden informatie die we te verwerken hebben zijn vaak astronomisch, en hun mogelijke logische combinaties zijn vrijwel oneindig.

Deze complexiteit geldt in wezen voor al onze psychische inhouden: zintuiglijke waarnemingen, lichaamsgevoelens, aangeboren kengegevens, herinneringen, mentale constructies, fantasieën, 'intuïties', dromen, enzovoorts. Deze zijn zonder een zinnige vorm van ordening en selectie in wezen betekenisloos.
{N.b. Aan de complexiteit van informatie worden vaak allerlei kwaliteiten toegedicht die meer eenvoudige structuren niet hebben, zoals nuance en subtiliteit, en soms ook bewustzijn. Complexiteit van informatie kan echter ook een symptoom zijn van simpel chaos en warrigheid. Ze deelt daarmee in elk geval dezelfde manco's: een combinatorische explosie van mogelijke 'routes' in het netwerk van betekenissen, die leidt tot onbeslisbaarheid van logische geldigheid terwijl de kans op een 'gelukstreffer' van logische geldigheid bijna oneindig klein wordt. }
Verreweg het grootste deel van onze informatie kunnen we niet eenduidig betekenis geven ( interpreteren), niet bevestigen of ontkennen, niet toetsen op waarheidsgehalte (verifiëren of falsifiëren), en evenmin controleren op andere essentiële logische criteria, zoals geldigheid (validiteit), vervulbaarheid (consistentie) of strijdigheid (contradictie). Ze bestaan met andere woorden uit logische onzekerheden oftewel contingenties.

Van al die combinatorische mogelijkheden bestaat het overgrote deel uit logische onzekerheden oftewel contingenties en maar een klein deel uit ware, geldige of strijdige gegevens en dus direct voor beslissingen bruikbare informatie. De vraag is: welk deel?
Hiermee staan we voor een gigantisch keuze-probleem, dus logisch beslisprobleem. Nemen we een lukrake greep uit alle mogelijkheden dan is de kans op waarheid of geldigheid miniem, om niet te zeggen nihil.

Zonder logica is oordeelsvorming ondoenlijk



Mensen die niet getraind zijn in logica - en dat is vrijwel iedereen - hebben weinig of geen notie van al deze mogelijke combinaties, die in hun eigen gedachten, bewuste en meer nog onbewuste, aanwezig zijn. Bovendien blijken de meeste mensen volslagen onbekend te zijn met de meest elementaire logische combinaties. Dit maakt mensen in hun oordeelsvorming uiterst ontvankelijk voor toevallige factoren, zoals aanleg en omgeving, sociale conventies en andere arbitraire denkschema's, indoctrinatie vanuit opvoeding, onderwijs, politiek media en reclame, lukrake slogans en holle frasen, die garant staan voor alle mogelijke drogredenen en daarmee des te meer gebrekkige informatie. Hierdoor kunnen veel problemen niet worden opgelost en doelen niet worden behaald.
"Wanneer we in absurditeiten geloven zullen we eerder gruwelen begaan."
(Voltaire)

Kortom, het is een illusie te denken dat je redeneringen op een zinvolle, redelijke en zorgvuldige manier kunt beoordelen, zonder toepassing van exacte logica.
Zonder logica toe te passen - bewust of onbewust, intuïtief of systematisch - kunnen we alleen lukraak beslissen over de validiteit van informatie. Maar alleen door formele logica toe te passen kunnen we nagaan of we dat valide beslissen.

Zie verder ..






Appendix