1.
Het probleem van combinatorische over-load
Het is voor veel van onze doelen handig, soms zelfs van levensbelang, dat we enig idee hebben
wat we kunnen doen om die doelen te behalen. Dan is het fijn om tijdig te beschikken over voldoende
relevante informatie die bovendien redelijk betrouwbaar is. Van nature zijn we geneigd om die informatie
op basis van onze vertrouwde 'natuurlijke' intuïties en 'spontane' associaties bij elkaar te zoeken.
Er zijn dan een aantal algemene beperkingen en problemen waar we mee te maken krijgen.
Veel van deze problemen raken de
inhoudelijke kwaliteit van informatie, zoals volledigheid,
begrijpelijkheid, eenduidigheid, en 'realisme' of waarheidsgehalte (waarschijnlijkheid, waarheidsgelijkenis,
enzovoorts). Dat wil zeggen, eigenschappen die afhankelijk zijn van de specifieke 'invulling', het onderwerp,
het domein of het 'soort' werkelijkheid waarnaar de informatie verwijst. In de praktijk
is onze informatie vaak een mix van hele en halve waarheden.
Daarnaast zijn er problemen die volkomen los staan van de toestand van het domein, en die louter te maken
hebben met de
structuurkenmerken van de informatie op-zichzelf: de
logische eigenschappen.
De structuur van informatie bestaat primair uit alle
logische relaties tussen de gegevens. De
logische relaties tussen gegevens vormen de eerste hoofdlijnen van hun ordening, dus de
samenhang
van informatie. En deze samenhang is als eerste bepalend voor zowel het geheel als alle delen
van die informatie - zowel voor hun rol binnen de structuur als voor de consequenties voor hun inhoud.
Een accurate beoordeling van logische relaties is dan ook een eerste vereiste voor optimale selectie,
gegronde validatie, en nuttige toepassing van gegevens.
Het eerste probleem is dan een goed inzicht te krijgen in die logische relaties. En daarvoor is een helder
overzicht handig.
Nu vertegenwoordigen onze gegevens, afgezien van hun (inhoudelijke) kwaliteit, altijd enorm veel mogelijke
combinaties en
mogelijke ordeningen. Met het toenemen van gegevens neemt het aantal
mogelijke combinaties
exponentieel toe: er vindt al gauw
combinatorische explosie plaats.
Uit die vaak astronomische hoeveelheden van mogelijkheden is het lastig - zo niet ondoenlijk - om zomaar
een selectie te maken. Zonder verdere richtlijnen wordt zo'n selectie al gauw lukraak,
arbitrair,
een 'slag in de lucht'. De kans dat dit doel treft is - bij zulke gigantische 'zoekruimtes' - minimaal,
of nagenoeg nihil.
2.
Orde in de combinatorische explosie.
Het probleem van de combinatorische explosie is zeker niet het énige die de menselijke oordeelsvorming
bemoeilijkt. Het verdient echter bijzondere aandacht omdat het (a) objectief aantoonbaar is,
(b) behoorlijk exact kan worden berekend èn (c) ook drastisch kan worden aangepakt, en wel
met behulp van de meest betrouwbare kennis die we hebben: die van de logica. Dit punt levert dan ook
een zeer solide pleidooi voor de onontkoombare noodzaak om doelbewust logica toe te passen
als we betrouwbare oordelen willen vormen.
(a)
Een combinatorische explosie in ons aandachtsveld.
Allereerst is er de hoeveelheid gegevens die we mentaal kunnen 'overzien'.
Als voorbeeld kijken we naar de maximale informatiecapaciteit van ons bewuste 'aandachtsvenster',
dat is de maximale hoeveelheid
items die we gelijktijdig bewust kunnen beschouwen,
zoals woorden, cijfers, letters, of andere symbolen. Deze hoeveelheid bedraagt gemiddeld
ongeveer '7±2' elementen. Het precieze aantal is afhankelijk van het type stimulus,
maar laten we even uitgaan van 7.
Zonder verdere vooronderstellingen is een verzameling 'dingen', zoals
items of andere objecten,
in het algemeen op de eerste plaats
ongeordend.
{Nb. Een verzameling kan wel genoteerd worden in een bepaalde syntactische ordening, bijvoorbeeld
lineair in een reeks, ruimtelijk in een puntenwolk. Maar die ordening heeft niet per se een betekenis:
is nog geen semantische ordening - tenzij na interpretatie. Dit geldt ook voor
een logisch-syntactische verzameling van items of formules: die staat (nog) niet
in logische relatie, dus ook (nog) niet in conjunctie.
We starten met de simpelste ordening: het aantal mogelijke verschillende
volgordes (
permutaties
) van een aantal items. Dit is bijvoorbeeld van belang om de tijdvolgorde (
chronologie)
van gebeurtenissen te bepalen. Voor 7 items is dit aantal al niet gering: 5040 (= ca. 12.3 bits).
Een volgende trap van ordening is gebaseerd op het aantal mogelijke unieke
logische relaties
tussen gegevens. Logische ordening is veel interessanter dan enkel volgorde (in de tijd)
of rangschikking (in de ruimte). Als we informatie willen gebruiken als grondslag
voor ons handelen en beslissen, is dat meestal temidden van onzekerheden. oftewel
contingenties.
Het is dan handig om rekening te houden met de kwaliteit van informatie, de implicaties die ze kan hebben
en te verwachten gevolgen in de gegeven situatie.
De combinatie van een aantal
items brengt echter een enorme hoeveelheid mogelijke logische implicatie
s, consequenties en conclusies met zich mee: het probleem van
combinatorische explosie. Van alle
mogelijke
logische relaties is altijd maar een heel klein deel logisch
geldig: dus
direct bruikbare informatie.
Om de 'juiste', of
optimale informatie te achterhalen, zullen we de logisch
geldige conclusie
(s) moeten selecteren. Die selectie is alleen snel en betrouwbaar mogelijk door middel van het toepassen van
logica. Om precies te zijn: exacte, dus formele logica.
Combinatorische explosie in propositielogica (PPL
).
Op zijn minst geldt - in alle denkbare gevallen - de meest eenvoudige vorm van exacte logica, de
propositielogica (
PPL
). Deze is immers altijd van toepassing zodra we
minstens één onderscheid aanbrengen, d.w.z. zodra we met enige informatie te maken hebben
(in plaats van louter niets-zeggende ruis). Hiervan zijn alle 'hogere' of 'meer
sophisticated' vormen
van logica afhankelijk.
Stel we nemen de simpelste versie van de propositielogica, met twee waarheidswaarden (waar of onwaar): een
binair systeem. Het aantal unieke mogelijke logische relaties is dan
hyperexponentieel
in het aantal items. Daarmee zitten we midden in de
combinatorische explosie.
Uitgaande van 2 items - een absoluut minimum om zinvol te redeneren -
hebben we al 16 unieke mogelijke logische relaties.
Van deze unieke patronen is er precies één algemeen geldig, en één altijd onwaar (onvervulbaar),
de geldigheid van de andere is voorwaardelijk.
Van de 16 mogelijke relaties (bij 2 items) worden er overigens 16 minus 1 = 15 minstens
één keer door een ander patroon geïmpliceerd.
Een aantal voorbeelden van eenvoudige situaties in een binair systeem binnen de propositielogica:
-
Bij 1 item hebben we een syntactisch patroon van 2 tekens, en semantisch een potentieel van 4
mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie, en 2 contingenties.
-
Bij 2 items hebben we een syntactisch patroon van 4 tekens, en 16 mogelijke logische relaties,
waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 14 contingenties.
-
Bij 3 items hebben we een syntactisch patroon van 8 tekens, en 256 mogelijke logische relaties,
waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 254 contingenties.
-
Bij 4 items hebben we een syntactisch patroon van 16 tekens, en 65536 mogelijke logische relaties,
waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 65534 contingenties.
-
Bij 5 items hebben we een syntactisch patroon van 32 tekens, en 4294967296 mogelijke logische relaties,
waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 4294967294 contingenties.
-
Bij 6 items hebben we een syntactisch patroon van 64 tekens, en 18446744073709551616
mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en 18446744073709551614
contingenties.
-
Bij 7 items hebben we een syntactisch patroon van 128 tekens, en ca. 3.402823669209385.. *10 38
(= 128 bits) mogelijke logische relaties, waarvan 1 geldige regel, 1 contradictie en de rest
contingenties.
Enz..
[*DIT TOCH MAAR FF NIET!] Met als gevolg dat ca. 36 % gesubsumeerd is, en daardoor overtollig.
redundant ]-- > Alle andere formules staan dus nog 'open' wat betreft hun waarheidswaarde. Deze dienen
nog getoetst te worden aan een bepaald referentiekader (verzameling axioma's, of referentieel domein)
om beslist te worden, dat wil zeggen, om hun geldigheid te bepalen.
Met 7 items, het doorsnee aantal van elementen in het bewuste aandachtsvenster, is het aantal unieke
formules in
PPL
dus al ca. 3.4 *10
38 (= 128 bits). Ook hiervan
kan maar één patroon algemeen geldig zijn.
[*DIT TOCH MAAR FF NIET!] Daarbij is er ca. 1.0 *10 -
14 % redundantie
als gevolg van gesubsumeerde patronen: een minuscule fractie. Er valt dus nauwelijks overtolligheid
te reduceren. Alle andere relaties staan dus nog ter beoordeling!
We kunnen wel een meer
sophisticated logisch systeem gebruiken, met meer expressief vermogen, zoals
modale logica (ML),
predikatenlogica (
PDL-I
), tot aan
fuzzy logic,
maar daarmee nemen typisch de mogelijke combinaties nog veel explosiever toe, terwijl met elke volgende stap
de mate van beslisbaarheid navenant afneemt.
Combinatorische explosie in predikatenlogica (PDL-I
).
Nog een concreet voorbeeld: stel we nemen een uiterst minimaal formeel systeem in de
predikatenlogica
: een binair systeem met alleen predicaties van de eerste orde (d.w.z. zonder predicaties over predicaties),
met een vocabulaire van 2 predikaten, elk met 2 argumenten, bij een domein van 2 elementen.
Dit is een vrij gebruikelijke opzet die we nodig hebben voor simpele dagelijkse redeneringen.
Bijvoorbeeld:
Predikaten: {kussen(x,y),houden-van(x,y)};
domein: {Jan,Marie}.
Voorbeelden van predicaties: {kussen(Jan,Marie);houden-van(Marie,Jan)}.
Voorbeeld van een logische relatie: {kussen(Jan,Marie)
houden-van(Jan,Marie)} ('Als Jan Marie kust dan geldt dat Jan van Marie houdt').
Een dergelijk simpel predicaatlogisch systeem levert meteen al evenveel mogelijke unieke logische relaties
als een binair systeem in
PPL
met een vocabulaire van 8 atomaire proposities: nl.
ca. 1.58 *(10
77), oftewel 256 bits. Een getal van 78 cijfers.
Er is uiteraard geen mens die zulke massa's mogelijkheden 'spontaan', of 'intuïtief' kan overzien
en ordenen naar geldigheid, althans, in een afzienbaar tijdbestek.
Tegenwerping kan zijn dat dit een heel triviaal voorbeeld is - kan toch niet moeilijk zijn
om dit in een praktijksituatie te beslissen, wanneer we over concrete gegevens beschikken?
Punt is dat wat triviaal is, of lijkt te zijn, helemaal niet geldig hoeft te zijn,
en dat mensen in de praktijk juist voortdurend oordelen en daarbij relatief veel ongegronde conclusies
trekken. Iedereen kan altijd wel wat fouten opmerken, maar alleen met kennis van logica weet je zeker
dat je ze allemaal opmerkt, en ze het kunt oplossen voor zover ze oplosbaar zijn.
(b)
Associatief versus logisch denken
Het volgende punt is dat de inhoud van ons aandachtsvenster niet stil staat. Onze aandacht
dwaalt voortdurend over de verschillende inhoudselementen van ons korte-termijn geheugen
- dat zelf ook voortdurend van samenstelling verandert. Omdat we creatief kunnen denken en associëren,
kunnen we vanuit één gedachte (een 'uitgangspunt') in principe altijd in oneindig veel
richtingen verder denken. Dit geeft een vrijwel
oneindige divergentie, een onafzienbare
combinatorische explosie van mogelijke 'vervolgstappen': conclusies en denkpaden.
Zonder enige ordening hebben we ook hier enkel zinloze chaos. Variëren vereist selecteren.
Logica is bij uitstek het middel om bij zoveel mogelijkheden snel de zinvolle en relevante relaties
in kaart te brengen.
(c)
Redeneren met onzekerheden.
De voorgaande problemen zijn alleen afhankelijk van het aantal uitgangsgegevens, niet van hun inhoudelijke
kwaliteit. We hebben in het dagelijks leven echter meestal te maken met basisgegevens uit feilbare bronnen,
zoals waarneming, herinnering, 'horen zeggen', enzovoorts, waardoor ze al in eerste instantie
in een bepaalde mate onvolledig, onnauwkeurig en onzeker zijn. Verreweg het grootste deel van die gegevens
komen in eerste instantie in 'onbesliste' toestand tot ons: zonder eenduidige betekenis,
verifieerbaar waarheidsgehalte, of toetsbare geldigheid. De vraag is hoe we met zulke
fuzzy en
messy informatie toch op een zinnige manier kunnen redeneren (niet al te
sloppy) zodat we
niettemin aanvullende informatie winnen, - of, in ieder geval, zonder dat er
verlies
van informatieve waarde optreedt.
Logica werkt onafhankelijk van de inhoud van informatie. Daardoor is ze bij uitstek geschikt om
uit gebrekkige en onzekere gegevens nog een maximum aan hoogwaardige informatie te destilleren.
Kortom: de hoeveelheden informatie die we te verwerken hebben zijn vaak astronomisch,
en hun mogelijke logische combinaties zijn vrijwel oneindig.
Deze complexiteit geldt in wezen voor al onze psychische inhouden: zintuiglijke waarnemingen,
lichaamsgevoelens, aangeboren kengegevens, herinneringen, mentale constructies, fantasieën, 'intuïties',
dromen, enzovoorts. Deze zijn zonder een zinnige vorm van ordening en selectie in wezen betekenisloos.
{N.b. Aan de complexiteit van informatie worden vaak allerlei kwaliteiten
toegedicht die meer eenvoudige structuren niet hebben, zoals nuance en subtiliteit,
en soms ook bewustzijn. Complexiteit van informatie kan echter ook een symptoom zijn
van simpel chaos en warrigheid. Ze deelt daarmee in elk geval dezelfde manco's: een
combinatorische explosie van mogelijke 'routes' in het netwerk van betekenissen, die leidt tot
onbeslisbaarheid van logische geldigheid terwijl de kans op een 'gelukstreffer'
van logische geldigheid bijna oneindig klein wordt. }
Verreweg het grootste deel van onze informatie kunnen we niet eenduidig betekenis geven (interpreteren),
niet bevestigen of ontkennen, niet toetsen op waarheidsgehalte (verifiëren of falsifiëren),
en evenmin controleren op andere essentiële logische criteria, zoals geldigheid (
validiteit),
vervulbaarheid (
consistentie) of strijdigheid (
contradictie). Ze bestaan met andere woorden uit
logische onzekerheden oftewel
contingenties.
Van al die combinatorische mogelijkheden bestaat het overgrote deel uit logische onzekerheden oftewel
contingenties en maar een klein deel uit ware, geldige of strijdige gegevens en dus direct
voor beslissingen bruikbare informatie. De vraag is: welk deel?
Hiermee staan we voor een gigantisch keuze-probleem, dus logisch beslisprobleem. Nemen we een lukrake greep
uit alle mogelijkheden dan is de kans op waarheid of geldigheid miniem, om niet te zeggen nihil.
3.
Zonder logica is oordeelsvorming ondoenlijk
Mensen die niet getraind zijn in logica - en dat is vrijwel iedereen - hebben weinig of geen notie
van al deze mogelijke combinaties, die in hun eigen gedachten, bewuste en meer nog onbewuste, aanwezig zijn.
Bovendien blijken de meeste mensen volslagen onbekend te zijn met de meest elementaire logische combinaties.
Dit maakt mensen in hun oordeelsvorming uiterst ontvankelijk voor toevallige factoren,
zoals aanleg en omgeving, sociale conventies en andere arbitraire denkschema's, indoctrinatie
vanuit opvoeding, onderwijs, politiek media en reclame, lukrake slogans en holle frasen,
die garant staan voor alle mogelijke drogredenen en daarmee des te meer gebrekkige informatie.
Hierdoor kunnen veel problemen niet worden opgelost en doelen niet worden behaald.
"Wanneer we in absurditeiten geloven zullen we eerder gruwelen begaan."
(Voltaire)
Kortom, het is een illusie te denken dat je redeneringen op een zinvolle, redelijke en zorgvuldige manier
kunt beoordelen, zonder toepassing van exacte logica.
Zonder logica toe te passen - bewust of onbewust, intuïtief of systematisch - kunnen we alleen lukraak
beslissen over de validiteit van informatie. Maar alleen door formele logica toe te passen kunnen we
nagaan of we dat valide beslissen.
Zie verder ..
§ Pagina's
§ Pagina's
§ Pagina's
C.P. van der Velde © 2008.