Cursus / training:

Methode Formele Logica

©

17.

 

Syllogisme (sluitrede).



'Keten redenering', c.q. 'sluitredenering'.



De syllogismeleer volgens de klassieke logica is gegrondvest door Aristotelis.
Het was vanouds echter niet een eenduidig gereglementeerd systeem.
De syntax en semantiek van het klassieke Syllogisme zijn in de formele logica volledig vervangbaar door predikatenlogica.
De beslissingsprocedures voor validiteit zijn daarbij volledig vervangbaar door resolutielogica.
(die ook veel eenduidiger, efficiënter en duidelijker is).

17.1.

 

Algemene regels voor Syllogisme.



17.1.1.

 

Opbouw van een Syllogisme.



Elk Syllogisme bestaat uit minstens drie elementen c.q. componenten.
Dit zijn zinnen (proposities), nl. minstens twee premissen en één conclusie.

Formalisme, notaties:


(Uitbreiding van de structuur voor Modus Ponens).

Redeneervorm.


Globale syntax (gestandaardiseerd).
{F1: Minor premisse, F2: major premisse }  F3: Conclusie.
Conventionele volgorde:
{F2, F1 } F3.

Componenten:


Drie basale proposities.
(1) F1 : formule 1, eerste expliciete basale conjunct term;
'minor' c.q. 'subject' premisse (assumpta);
nl. precedente afleidingsregel (Implicatie).
In Conjunctie met:
(2) F2 : formule 2, tweede expliciete basale conjunct term;
'major' c.q. 'predicaat' premisse (propositio);
nl. centrale afleidingsregel (Implicatie).
Levert:
(3) F3 : formule 3, derde expliciete basale conjunct term;
nl. (eind)conclusie, finale afleidingsregel (Implicatie);
(consequentia, consecutio).

Lokale syntax:


(F1 : {(S1 M1 ) } );
(F2 : {(M2 P2 ) } );
(F3 : {(S3 P3 ) } );

Elementaire termen:


Typering van de termen (d.i. predicaties) in een syllogisme.
Per component: de predicaties in het syllogisme worden 'termen' genoemd.
S : antecedens, 'subject' term.
S1 : 'minor' term'.
Eerste lokale term, premisse, binnen de eerste basale premisse (F1);
'contributing term', 'assigning term'.
Deze komt tevens voor - al dan niet gereduceerd - in de basale eindconclusie (F3).

M : medius term, 'middle term' (middenterm).
Hiervan zijn twee expliciete voorkomens: één in beide basale premissen.
Is tevens de (impliciete) afgeleide intermediërende term t.b.v. de transitieve operatie.
M1 : 'minor medius' term.
Tweede lokale term, conclusie, binnen de eerste basale premisse (F1);
referent 1, 'accepting middle term'
M2 : 'major medius' term.
Eerste lokale term, premisse, binnen de tweede basale premisse (F2);
target element 1, 'transmitting middle term'.

- P -: consequens, 'predikaat' term.
P2 : 'major term'.
Tweede lokale term, conclusie, in de tweede basale premisse (F2);
target element 2, 'receiving term'.

cnc

: koppelwerkwoord (copula): staat voor het voegwoord (connectief );

Q

: Kwantificatie (omvang van bereik);

Afgeleiden.


M3

=

M2(1)

=

M2(M1) :
lokale premisse (uit F2), modulo M1 (uit F1).
D.i. versie van M2 uit F2 op grond van M1; d.w.z., na mgu instantiatie van {M1,M2}.
(M3 blijft normaliter impliciet in het redeneerschema).
S3

=

S2(1)

=

S2(M2(M1)) :
lokale premisse (uit F1), modulo M2(M1); binnen F3.
D.i. versie van S1 in F1 volgens M2(M1).
D.w.z., valt onder dezelfde kwantificatie als M2(M1).
P3

=

P2(2)

=

P2(M2(M1)) :
lokale conclusie (uit F2), modulo M2(M1); binnen F3.
D.i. versie van P2 in F2 volgens M2(M1).
D.w.z., valt onder dezelfde kwantificatie als M2(M1).

Constructies:


F1 : bevat (tenminste) {subject-minor, medius-minor};
(F1 {S1, M1} ).
F2 : bevat (tenminste) {medius-major, predicate-major};
(F2 {M2, P2} ).
F3 : bevat (tenminste) {subject-minor, predicate-major};
(F3 {S3, P3} ).

Proposities, 'categorische' 'zinnen'.


Er worden vier modi onderscheiden voor de termen in Syllogismen (in

PDL

):
(1)

Affirmatief.


(1.1)

Affirmatief, Universeel (a-type).


'All S is P' : 'SaP' : {x (S(x) P(x)) };
 ¬'SoP': {¬x (S(x) ¬P(x)) }.
(1.2)

Affirmatief, Existentieel (i-type).


'Some S is P' :
(1.2a)

Antiek/ traditioneel:


'SiP' : {x (S(x) P (x)) };
 ¬'SeP': {¬x (S(x) ¬P(x)) }.
(1.2b)

Modern/ adequaat:


{x (S(x)) P( x)) };
 {x (S(x) ¬P(x)) }.
(2)

Negatief.


(2.1)

Negatief, Universeel (e-type).


'No S is P' : 'SeP' : {x (S(x) ¬P(x)) };
 ¬'SiP': {¬x (S(x) P(x)) }.
(2.2)

Negatief, Existentieel (o-type).


'Some S is not P' :
(2.2a)

Antiek/ traditioneel:


'SoP' : {x (S(x) ¬P (x)) };
 ¬'SaP': {¬x (S(x) P(x)) };
(2.2b)

Modern/ adequaat:


{x (S(x)) ¬P( x)) };
 {x (S(x) ¬P(x)) }.
De onder (1.2a) en (2.2a) genoemde 'antieke' vormen uit de traditionele Syllogismeleer leveren géén geldige redeneerschema's op. Ze dienen vervangen te worden door de onder (1.2b) en (2.2b) genoemde 'adequate' vormen uit de moderne formele logica om met de bijbehorende Syllogismevormen geldige redeneerschema's te verkrijgen.

Logische relaties tussen modi van proposities in Syllogismen.



Equivalenten.


Een aantal modi zijn semantisch identiek.
{SiP} ≡ PiS.
{SiM} ≡ MiS.
{PiM} ≡ MiP.

{SeM} ≡ MeS.
{PeM} ≡ MeP.
{SeP} ≡ PeS.

Implicaties (subaltern):


Subalterne consequenten:
Proposities zijn oppositioneel in kwantiteit.
Semantische reductie, via kwantor-degrading, universeel-existentieel conversie.
({Sap} (SiP));
 ≡ (¬(SiP)   ¬(SaP)).
({Sep} (SoP));
 ≡ (¬(SoP)   ¬(SeP)).

Contradicties.


Proposities zijn oppositioneel in kwantiteit en kwaliteit.
(Diagonalen in 'het vierkant van opposities').
Althans: geldig in de antiek / traditionele, Conjunctieve vormen.
Equipolentie (obversie).
({SaP}

#

(SoP));
 ≡ (SaP  ≡ ¬(SoP));  ≡ (SoP  ≡ ¬(SeP)).
({Sip}

#

(SeP));
 ≡ (SeP  ≡ ¬(SiP));  ≡ (SiP  ≡ ¬(SeP)).

Contrair.


Universele proposities zijn oppositioneel in kwaliteit:
kunnen niet tegelijk waar zijn.
Uitgesloten samenvoeging (incompatibiliteit, exclusie), contraire relatie, NAND.
({SaP}  

|

(SeP));
 ≡ ((SaP)   ¬(SeP));
 ≡ ((SeP)   ¬(SaP));
 ≡ ¬((SaP)   (SeP));
 ≡ (¬(SaP)   ¬(SeP)).

Subcontrair.


Particuliere proposities zijn oppositioneel in kwaliteit:
kunnen niet tegelijk onwaar zijn.
Onderscheiding, (Inclusieve) Disjunctie, (alternatie), subcontraire relatie, OR:
 ≡ (¬(SiP)   (SoP));
 ≡ (¬(SoP)   (SiP));
 ≡ ¬(¬(SiP)   ¬(SoP));  ≡ ((SiP)   (SoP)).

17.1.2.

 

Toepassing van Syllogisme .


(Applicatie).

Geldige toepassing van Syllogisme.


(·) Het verbinden van twee termen uit de twee gegeven premissen (afleidingsregels), met name:
• de eerste lokale premisse (minor subject term),
• en de tweede lokale conclusie, (major predicate term).
Dit op grond van de relatie tussen de betreffende literalen:
(&bull) de eerste lokale conclusie de minor medius term, als referent;
(&bull) en de tweede lokale premisse, de major medius term, als target.
Van toepassing zijn specififeke criteria:
(&bull) afdoende syntactische relatie (overeenkomstig de beschreven connectiefstructuur),
(&bull) voldoende (relevante) formele gelijkenis;
(&bull) voldoende semantisch raakvlak en overlapping ('gemeenschappelijke deler', unifier), nodig voor een transitieve conclusie.
(·) De tweede, 'predicaat' premisse 'importeert' het referent vanuit de eerste, 'subject' premisse.
(·) Het laatste via (impliciete) Symmetrische contradictie eliminatie reductie.
(·) De (eind)conclucie bestaat in een derde afleidingsregel.
Deze bestaat uit:
(&bull) de eerste lokale premisse, (minor subject term),
(&bull) en de tweede lokale conclusie, (major predicate term).
De kwantificatie (c.q. extensie) van beide termen komt hoogstens overeen met de maximale gemeenschappelijke deler (most general unifier) van referent en target element.

Figuren van syllogismen.


Er worden vervolgens vier figuren van syllogismen onderscheiden.
Dit zijn verschillende samenstellingen van de basale premissen op grond van hun termen en hun modi.
Elke figuur wordt gekenmerkt door de plaats van de middenterm {M} in de twee premissen.
Dit levert vier combinaties in volgordes van {S,M} en {M,P} binnen resp. minor en major premissen.
Hieronder wordt de inhoud van de premissen eerst in traditionele, daarna in moderne logische volgorde genoemd.
1. [{M-P,S-M}=] {S-M,M-P}.
2. [{P-M,S-M}=] {S-M,P-M}.
3. [{M-P,M-S}=] {M-S,M-P}.
4. [{P-M,M-S}=] {M-S,P-M}.

De figuren kunnen vervolgens worden verbonden aan conclusies over de (mogelijke) afleidingsrelatie tussen subject {S} en predicaat {P}:
1. [{M-P,S-M}=] {S-M,M-P};   S-P.
2. [{P-M,S-M}=] {S-M,P-M};   S-P.
3. [{M-P,M-S}=] {M-S,M-P};   S-P.
4. [{P-M,M-S}=] {M-S,P-M};   S-P.

Syllogisme schema's.


We kunnen nu kwantificeren hoeveel mogelijke 'standaard' redeneerschema's er in de klassieke syllogismeleer zijn.
We volgen daarbij in eerste instantie de traditionele basisregels van de traditionele syllogismeleer (ook al zijn deze, zoals we nog zullen zien, deels irrationeel om niet te zeggen onlogisch).
Samengevat:
(1) Een traditioneel syllogisme bestaat uit drie componenten, d.i. basale proposities: twee basale premissen ( minor en major) en één eindconclusie.
(2) Elk van deze componenten bevat de volgende elementen:
(·) Twee (elementaire 'termen', d.i. lokale proposities: de lokale antecedens en consequens.
In

PDL

) zijn dit predicaties.
Deze worden naar hun functie in het syllogisme gecodeerd als {S, M, P }.
(·) Eén connectief d.i. een operator, gekozen uit twee mogelijkheden: {, }.
(·) Eén globale (overall) kwantiteit d.i. (in

PDL

) elk een kwantor uit twee mogelijkheden: {, }.
(3) Traditioneel komt de { } kwantor alleen met het { } connectief voor, en de { } alleen met het { }.
(Ook al vervallen die laatste vormen via syntactische reductie onvermijdelijk tot de redeneervorm van Modus Ponens).
(4) De consequens kent verder twee mogelijke valenties: positief en Negatief.
(5) De drie proposities kunnen door deze basisregels (in

PDL

) elk 2 kwantoren (annex hun connectieven) x 2 valenties = 4 modi hebben, gecodeerd als {A, E, I, O }.
(6) Dit betekent dat de traditionele syllogismevormen gecodeerd kunnen worden als (k=3) tekenreeksen (tupels ) uit (n=4) tekens (modi); d.w.z. {AAA, AAE, AAI, AAO, .. etc.}.
Dat levert in totaal n **k herhalingsvariaties, d.i. 4 **3 = 64 verschillende modi.
(7) Vervolgens worden zes mogelijke volgordes binnen de basale premissen toegelaten, bepaald door de positie van de middenterm M: als lokale antecedens of consequens.
Dat levert in totaal 64 x 4 = 256 verschillende syntactische vormen van het traditionele syllogisme op.
(8) Van deze mogelijke syntactische vormen is echter maar een beperkt deel semantisch verschillend.
Bijvoorbeeld, als we de volgorde van de basale premissen negeren, zijn het er nog maar 128.
(9) Van deze mogelijke semantische vormen is weer een kleiner deel (logisch) geldig.
In de klassieke syllogismeleer worden er 24 als 'geldig' beschouwd, om zo te zeggen 'traditioneel geldig'.
Maar met de moderne

PDL

is bewijsbaar dat er slechts 15 (echt) logisch geldig zijn.
(10) Deze mogelijke geldige vormen vertegenwoordigen vervolgens maar 8 vormen die semantisch uniek zijn.
(11) Deze mogelijke unieke geldige semantische vormen behelzen op hun beurt maar een fractie van alle unieke redeneervormen die in

PDL

met twee kwantoren en drie predicaatnamen mogelijk zijn, waar we in de praktijk mee te maken kunnen krijgen.
{Het mag enigszins vreemd heten dat het traditionele Syllogisme nog steeds veel aandacht krijgt in logica onderwijs, terwijl zij door de moderne, veel exactere formele c.q. mathematische logica al lang achterhaald is).

Irrationele aspecten van de klassieke syllogismeleer.


(·) De conventionele syntactische volgorde van de basale premissen, nl. {(M2 P2 ), (S1 M1 ) };
is omgekeerd aan de volgorde die het meest efficiënt is om de geldigheid van het syllogisme te bewijzen (m.n. wegens symmetrische contradictie, bijv. via de convergente parafrase reductie bewijsmethode).
(·) De selectie van de syntactische (connectief) vormen is arbitrair, en niet altijd efficiënt.
(·) De selectie van de syntactische vormen is onvolledig.
(·) De selectie van de syntactische vormen bevat semantische redundantie.

17.2.

 

Hoofdvormen van Syllogisme.



Geldige basisvormen: drie standaard normaalvormen.
Daarnaast zijn er diverse andere geldige vormen.
Daarnaast diverse andere geldige vormen.

17.2.1.

 

Syllogisme, standaardvorm, in

PPL

.


Regel van Algemeen syllogisme.
Algemeen schema (

PPL

-vorm van

PDL

-schema: Universeel normaal vorm van syllogisme ).
In

PPL

:
{F1:(S1 M1), F2:(M2 P2) }
(F1:(¬S1 M1) F2:(¬M2 P2) );
 (u (M1 (u) M2 )u );
 (u

|

(M3

:=

M1(u) ;

:=

M2(u)

:=

mgu

[u](M1 ,M2 ) )u );
Unificatie, via substitutie.
 (F1 ·[M1

:=

M3]; F2 ·[M2

:=

M3;] )
 (u,s) (.., F3:(¬S1 M3) F4:(¬M3 P2) );
Lokale atomaire disjuncten eliminatie (2x), wegens Symmetrische contradictie.
 (Rd-sc) (.., F5:(¬S1 P2 ) );
 (

degres

)(Rd-cj) F6:(S1 P2 ) : is geldig.

Bijv. (PPL): {(A B), (B C ) }; ((¬A B) (¬B C) );   (

degres

)(u) (A C).
Bijv. (PPL): {(A ¬B), (¬B C ) }; ((¬A ¬B) (B C) );   (

degres

)(u) (A C).

17.2.2.

 

Syllogisme, standaardvorm, in PDL.



Bijv. (PDL, Skl): {F1:(S1(t1) M1( t1)), F2:(M2(t2) P2 (t2)) };
(F1:(¬S1(t1) M1(t1)), F2:(¬M2(t2) P2(t2)) );
 (u1 (M1(t1) (u1) M2(t2) )u1 );
 (u1

|

(t3 (1

≤

|

Q

*(t3)

|

≤

|

Q

*(

mgu

[u](t1,t 2) )

|

)t3 )u1 );
Unificatie, via substitutie.
 (F1·[t1

:=

t3 ]; F2·[t2

:=

t3] );
 (u1,s) (.., F3:(¬S1(t3) M1(t3)), F4:(¬M2(t3 ) P2(t3)) );
 (u2 (t3

|

(M 1(t3) M2(t3))t3 ) u2 );
Unificatie, via substitutie.
 ·[M2(t3)

:=

M1( t3)];
 (u2,s) (.., F5:(¬S1(t3) M1(t3)), F6:(¬M1(t3 ) P2(t3)) );
Lokale atomaire disjuncten eliminatie (2x), wegens Symmetrische contradictie.
 (Rd-sc) (.., F7:(¬S1(t3) P2(t3)) );
 (

degres

)(Rd-cj) (S1(t 3) P2(t3)) : is geldig.


17.3.

 

Varianten van Syllogisme - naar validiteit, Equivalentie en afgeleiden.



Wat zijn van de 256 traditionele syllogismevormen nu de 8 semantisch unieke valide syllogisme schema's?
Hieronder volgen voor de vanouds onderscheiden vormen van syllogisme steeds bewijsvoering dan wel weerlegging.
Deze verloopt via de bekende normaal vorm conversies in

PPL

(

NNF

,

CNF

,

DNF

, etc.), resp. toepassing van convergente reductie bewijsmethode.

Syntactische varianten van semantische Syllogismevormen.


(1)

Semantisch equivalent.


(1a) Met syntactische volgorde wissel, in Conjunctie.
(·) in eerste ('subject') premisse.
(·) in tweede ('predicaat') premisse.
(1b) Met syntactische volgorde wissel, in Implicatie, met Negatieve consequens.
(·) in eerste ('subject') premisse (contrapositie).
(·) in tweede ('predicaat') premisse (contrapositie).
(2)

Semantisch niet-equivalent.


(2a) Met semantische valentie wissel, in Implicatie, van lokale conclusie.
(·) van eerste lokale conclusie.
(·) van tweede lokale conclusie.
(2b) Met syntactische/ semantische volgorde wissel, in Implicatie, met positieve consequens.
(·) in eerste ('subject') premisse.
(·) in tweede ('predicaat') premisse.

Gebruikte notaties.


[..] : eindconclusie volgens klassieke syllogismeleer, maar

ongeldig

(dus impliceert een vooronderstelling).
{..} : tussenstap uit andere modus (in klassieke syllogismeleer).
| | : afgeleide volgens moderne

PDL

.

17.3.1.

 

Met beide premissen Universeel; standaardvorm.


[Syl 1.1.] 'AAA-1'

{{SaM,MaP};SaP} Barbara.


Universeel normaal vorm.
Beide premissen Universeel, en de eindconclusie Universeel.
{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) P2( x))) : is geldig [1a].

Isomorf (via valentie wissel).
Variant van Barbara, niet-equivalent (valentie wissel tweede lokale conclusie).
[Syl 1.2.] 'EAE-1'

{{SaM,MeP};SeP} Celarent.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [2a].
Variant van Celarent, equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede premisse).
 [Syl 2.1.] 'EAE-2'

{{SaM,PeM};SeP} Cesare.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (P2(x) ¬M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [2b].

17.3.2.

 

Met één premisse Existentieel .



17.3.2.1.

 

Met eerste basale premisse Existentieel; standaardvorm.


Eerste basale premisse is de zgn. major c.q. subject premisse.
Variant van Barbara, niet-equivalent; met eerste basale premisse Existentieel.
Existentieel normaal vorm: met 'subject' premisse Existentieel.
[Syl 1.3.] 'AII-1'

{{SiM,MaP};SiP} Darii.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) P2 (x))));  (u) ( x (S1(x) P2(x ))) : is geldig [3a].

Isomorf (via volgorde wissel).
Variant van Darii, equivalent (volgorde wissel Conjunctie in tweede basale premisse).
 [Syl 3.1.] 'AII-3'

{{MiS,MaP};SiP} Datisi.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) P2 (x))));  (u) ( x (S1(x) P2(x ))) : is geldig [3b].

Variant van Darii, niet-equivalent (valentie wissel tweede lokale conclusie).
[Syl 1.4.] 'EIO-1'

{{SiM,MeP};SoP} Ferio(que).


Variant van Barbara, semantisch analoog (valentie wissel tweede lokale conclusie).
{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [4a].
Variant van Ferio(que), equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede basale premisse).
 [Syl 2.3.] 'EIO-2'

{{SiM,PeM};SoP} Festino.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (P2(x) ¬M 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [4b].
Variant van Festino, equivalent (volgorde wissel Conjunctie in eerste basale premisse).
 [Syl 3.3.] 'EIO-3'

{{MiS,MeP};SoP} Ferison.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [4c].
Variant van Ferison, equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede basale premisse).
 [Syl 4.3.] 'EIO-4'

{{MiS,PeM};SoP} Fresison.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (P2(x) ¬M 2(x)))};  (( x (S1(x) M1(x ))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [4d].

17.3.2.2.

 

Met tweede basale premisse Existentieel.


Tweede basale premisse is de zgn. minor c.q. predikaat premisse.
Variant van Barbara, niet-equivalent (tweede basale premisse Existentieel).
[Syl x.x.]

{{SaM,MiP};|MiP|;[SiP]} [niet klassiek].


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (M2(x) P2 (x))));  |( x (M2(x) P2(x )));|
 [(u) (x (S1(x ) P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].

Variant van Celarent, niet-equivalent (tweede basale premisse Existentieel).
Variant van voorgaande, niet-equivalent (valentie wissel tweede lokale conclusie).
[Syl x.x.]

{{SaM,MoP};|MoP|;[SoP]} [niet klassiek].


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  |( x (M2(x) ¬P2( x)));|
 [(u) (x (S1(x ) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].

17.3.3.

 

Met beide premissen Universeel; suboptimaal: met verzwakte eindconclusie.



Verzwakking van Barbara.
[Syl 1.5.] 'AAI-1'

{{SaM,MaP};{SaP}..[SiP]} Barbari.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) P 2(x))));  {(u) ( x (S1(x) P2( x)));}
 [(u) (x (S1(x ) P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].

Verzwakking van Celarent.
[Syl 1.6.] 'EAO-1'

{{SaM,MeP};{SeP}..[SoP]} Celaront.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  {(u) ( x (S1(x) ¬P2( x)));}
 [(x (S1(x) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].
Variant van Celaront, equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede basale premisse).
 [Syl 2.5.] 'EAO-2'

{{SaM,PeM};{SeP}..[SoP]} Cesaro.


{(x (S1(x) M1( x))), (x (P2(x) ¬M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));  {(u) ( x (S1(x) ¬P2( x)));}
 [(x (S1(x) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].

17.3.4.

 

Met volgorde wissel in eerste basale premisse.


Omkering van termen/ literalen - dus Implicatie - in 'subject' premissen (en navenant aangepaste 'predicaat ' premissen).

17.3.4.1.

 

Met beide premissen Universeel; met volgorde wissel in eerste basale premisse .


SaM wordt MaS, etc..
Variant van Barbari, niet-equivalent (volgorde wissel Implicatie in eerste basale premisse).
[Syl 3.6.] 'AAI-3'

{{MaS,MaP};..[SiP]} Darapti.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (¬M2(x) P 2(x))));
Comprimatie:  |(u) (x (¬M 2(x) (S1(x) P 2(x))));|
 [(u) (x (S1(x ) P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x M2(x)}))].

Variant van Darapti, niet-equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede basale premisse).
[Syl 4.6.] 'AAI-4'

{{MaS,PaM};|PaS|..[SiP]} Bramantip /Bamalip.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));
 |(u) (x (S1(x ) ¬P2(x)));|  |( x (P2(x) S1( x)));|
 [(u) (x (S1(x ) P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x P2(x)}))].

Idem; met in tweede basale premisse Negatieve lokale conclusie.
Variant van Darapti, niet-equivalent (valentie wissel tweede lokale conclusie).
[Syl 3.5.] 'EAO-3'

{{MaS,MeP};..[SoP]} Felapton.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));
Comprimatie:  |(u) (x (¬M 2(x) (S1(x) ¬P 2(x))));|
 [(x (S1(x) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x M2(x)}))].
Variant van Felapton, equivalent (volgorde wissel Implicatie in tweede basale premisse).
 [Syl 4.5.] 'EAO-4'

{{MaS,PeM};..[SoP]} Fesapo.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (P2(x) ¬M 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (¬M2(x) ¬P 2(x))));
Comprimatie:  |(u) (x (¬M 2(x) (S1(x) ¬P 2(x))));|
 [(u) (x (S1(x ) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x M2(x)}))].

17.3.4.2.

 

Met tweede basale premisse Existentieel; met volgorde wissel in eerste basale premisse.


Variant van Darapti, niet-equivalent (met eerste basale premisse Existentieel).
[Syl 3.2.] 'IAI-3'

{{MaS,MiP};SiP} Disamis.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) P 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) P2 (x))));  (u) ( x (S1(x) P2(x ))) : is geldig [5a].
Variant van Disamis, equivalent (volgorde wissel Conjunctie in tweede basale premisse).
 [Syl 4.2.] 'IAI-4'

{{MaS,PiM};SiP} Dimaris / Dimatis.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) P2 (x))));  (u) ( x (S1(x) P2(x ))) : is geldig [5b].

Idem; met in tweede basale premisse Negatieve lokale conclusie.
Variant van Disamis, niet-equivalent (valentie wissel tweede lokale conclusie).
[Syl 3.4.] 'OAO-3'

{{MaS,MoP};SoP} Bocardo.


{(x (M1(x) S1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [6a].
Variant van Bocardo, equivalent (valentie wissel tweede basale premisse).
(2.5.2.1) Pseudo-syllogisme, met afwijkende tekens van premisse(n):
Met tweede basale premisse Negatief, universeel.
Vervalt tot Modus Ponens, Existentieel vorm II; met Factieve conclusie.
Bijv., in PDL:  [Syl 3.4.] 'OAO-3'

{{MaS,MoP};SoP} Bocardo.


{x (M1(x) S1( x)), ¬x (M2(x) P 2(x)) };
 {x (M1(x) S1(x)), x (M2( x) ¬P2(x)) };
 (x (¬M1(x) S1(x)), x ¬(¬M2( x) P2(x)) );
 (x (S1(x) ¬M1(x)), x (M2( x) ¬P2(x)) );
 (y (S1(y) ¬M1(y)), x (M2( x) ¬P2(x)) );
  [x:=

c

s];   (UI,Skl) (x (S1(y ) ¬M1(y)), M2(

c

s), ¬P 2(

c

s) );
 (y (M1(y) M2(

c

s) ) );   u (.., S1(

c

s), M2(

c

s), ¬P2(

c

s) );
 (

degres

) (x (S1(x) ¬P2(x) ) ) : is geldig [6b].

17.3.5.

 

Met volgorde wissel in tweede basale premisse.


Omkering van termen/ literalen - dus Implicatie - in 'predicaat' premissen (en navenant aangepaste 'predicaat ' premissen).

17.3.5.1.

 

Met beide premissen Universeel; met volgorde wissel in tweede basale premisse , met valentie wissel in eerste lokale conclusie.


MaP wordt PaM, etc..
[Syl 2.2.] 'AEE-2'

{{SeM,PaM};SeP} Camestres.


{(x (S1(x) ¬M1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [7a].
Variant van Camestres, equivalent (volgorde wissel in eerste basale premisse).
 [Syl 4.1.] 'AEE-4'

{{MeS,PaM};SeP} Camenes / Calemes.


{(x (M1(x) ¬S1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) ¬M1( x))), (x (¬P2(x) M 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [7b].

Verzwakking van Camestres.
[Syl 2.6.] 'AEO-2'

{{SeM,PaM};{SeP}.. [SoP]} Camestros/p.


{(x (S1(x) ¬M1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  {(u) ( x (S1(x) ¬P2( x)));}
 [(x (S1(x) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].
Variant van Camestrop, equivalent (volgorde wissel in eerste basale premisse).
 [Syl 4.4.] 'AEO-4'

{{MeS,PaM};{SeP}..[SoP]} Camenos/p / Calemos .


{(x (M1(x) ¬S1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (¬S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  {(u) ( x (S1(x) ¬P2( x)));}
 [(x (S1(x) ¬P2(x))) : is

ongeldig

(vooronderstelt: ( {x S1(x)}))].

17.3.5.2.

 

Met eerste basale premisse Existentieel, met valentie wissel in eerste lokale conclusie, met volgorde wissel in tweede basale premisse.


Variant van Camestres, niet-equivalent (eerste basale premisse Existentieel).
[Syl 2.4.] 'AOO-2'

{{SoM,PaM};SoP} Baroco.


{(x (S1(x) ¬M1( x))), (x (P2(x) M 2(x)))};  (( x (S1(x) ¬M1( x))), (x (M2(x) ¬P 2(x))));  (u) ( x (S1(x) ¬P2( x))) : is geldig [8].

C.P. van der Velde © 2004, 2016, 2019.